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常微分方程Chapter2——初等积分法（一）

常微分方程Chapter2——初等积分法（二）

2.5 其他类型的常微分方程

本节介绍其他几种可以使用初等积分法求解的微分方程。

技巧1：方程中比表达式简单且含有分式形式时，可以考虑互换和，求解.

例2.5.1 求解方程.

和互换可得

这是关于的一阶线性ODE，利用2.3节中的结论可得通解

技巧2：对于方程，若可以解出，即可以写为

则令，得

原方程化为关于的方程。

例2.5.2(Clairaut方程) 求解方程，其中.

两侧对求导可得

若，则，方程解为

若，则，可得参数方程解

技巧3：对于不显含低阶导数的高阶方程

令，则原方程可降阶为阶方程

例2.3.2就是这种方法的一个例子。

技巧4：对于不显含自变量的自治方程

可以令，则

更高阶的导数也可用类似方式化简。这样，原方程化为关于的方程，且阶数比原先降低一阶。

这种技巧在物理问题中应用十分广泛。在求解力学问题时，经常需要解出某一力学系统中所有质点的运动状态，而这些质点受到的相互作用往往不与时间直接相关，这样列出的方程就属于自治方程。

例如，对于单摆这一力学系统，可以列出运动方程

利用上述方法，令，可得

进一步解得

.

2.6 应用：二体问题

本节将运用微分方程探究天体运动中非常重要的二体问题。

对于真空中两个相互作用的天体，由万有引力定律可列出运动方程

其中.

将直角坐标转化为极坐标，即，则有

分别， 得

将④式两端乘可得

令可得为常数，而此量的物理意义为角动量（除掉质量），因此这个式子揭示了二体问题中的角动量守恒（Kepler第二定律）。

将③式两端乘并代入可得

积分可得

此式左侧的物理意义为动能与引力势能之和的两倍（除掉质量），因此这个式子揭示了二体问题中的机械能守恒。

由上式可得

下面着重讨论时的情形。

此时有

对其进行积分（具体过程不会qaq）可得

其中，.

当时，上式为以为半长轴长，为离心率的椭圆极坐标方程。上述推导表明此时其中一个物体绕行另一物体的运动轨道为椭圆，此即Kepler第一定律。

记椭圆的半短轴长为，则绕行的运动周期

不难验证为常数，此即Kepler第三定律。